煋问题－蒙特门的难题

dis510

昨天看到的
因为不是学概率毕业的，所以对这个问题有点疑惑
想看看论坛中有没有高人能解答的？

如何玩这个游戏方式就决定了获胜的机会，但是如果您知道了最佳策略，也可能会大吃一惊。
  本月的智力题得名于一位美国电视游戏节目的主持人蒙特，他曾在多年之前主持一档档名为成交的节目。在其中的一个游戏中，Monty 向竞猜者展示了三扇门。
  有一扇门之后是一辆小轿车。另两扇门之后是空房间。 蒙特事先知道门后是什么，但您并不知道。
  游戏分为三步：
  您选择一扇门。 蒙特将会打开剩余的两扇门中的一扇，展示一个空的房间。 （他从未打开那扇后面藏有汽车的门。）
  然后您可以选择是仍然选择在步骤 1 中选择的那扇门，还是选择去打开另一扇仍然关闭的门。
  假定你选择了 A 门。然后蒙特打开了另两扇门中的一扇，假定为 B 门，现在您可以选择改选 C 门或者仍然坚持最初的选择，即 A 门。如果没有改变选择，那么可能会猜对，也可能会猜错。
  另一方面，如果您改选 C 门，则还是既可能猜对…，也可能会猜错。
  您会做出什么选择呢？在蒙特打开一扇门之后，是坚持最初的选择，还是改变前面已做的选择呢？为什么会这样？

efficient3d

当然是换一扇门几率要高一些－－有三分之二的可能性得到车，坚持原来的选择只有三分之一。原因很简单－－因为你的第一次选择只有三分之一的可能性选到车，换一句话来说选到空门就有三分之二的可能性。有人说最后的结果不管是坚持原来的选择还是换一个选择，几率只有二分之一，其实这是一个假相。因为只要简单的将这个命题扩展就很容易理解了－－如果有四扇门，其中只有一扇后面有车，其余的都为空，你选择了其中一扇，然后把有空门的两扇打开，那么你是坚持原来的选择还是换一扇门呢－－很显然换一扇门几率要高的多。

godshymen

路过................

大刚

还只是一个找出不同点的游戏。。做到现在都麻木掉了。。。路过。。。

Ray

1楼正解

楼主也可以简单地理解为，被打开的空门原来的概率转移到了你没选的那扇门上面了。因为当你第一次选择时，你没选的两扇门有车的概率合计是2/3，而现在确定了其中一扇是没有的，所以那2/3的机会都跑到剩下的那扇门上了

宋震远

好似明白了

foxhoundPLA

想起了外星人悖论．．．．

蝙蝠侠

文科生讨厌逻辑游戏……

rinoa123

蝙蝠侠]文科生讨厌逻辑游戏……

借用…………

隐身登陆

这个问题并非很难。

starstar0622

看的頭好痛啊

tatabu

不同意!
其实这个游戏一开始选的时候机率已经是固定的。无论你如何选择3扇门的那一个，都应该是1/2机会。
假象是：

当然是换一扇门几率要高一些－－有三分之二的可能性得到车，坚持原来的选择只有三分之一。原因很简单－－因为你的第一次选择只有三分之一的可能性选到车，换一句话来说选到空门就有三分之二的可能性。

其实这个时候应该是只有两个选择：1：其中一扇你选中的门 2：另外两个没有被你选中的门，注意：我们应视这两个门为一个总体，因为无论如何选两个门的其中一个结果都是一样的。
重复的理据还有就是：按照机率转移的思路，由于主持人下个开门的动作将其中的1/3风险去掉，在还可以选择的情况下就剩下两个选择，也就是那个1/3的机会会平均分到剩下的两扇门上 —— 也就是一扇门有1/2机会

也就是：

  楼主也可以简单地理解为，被打开的空门原来的概率转移到了你没选的那扇门上面了。因为当你第一次选择时，你没选的两扇门有车的概率合计是2/3，而现在确定了其中一扇是没有的，所以那2/3的机会都跑到剩下的那扇门上了

是错的。

夜神の月

我干吗要开门……
不开不行？
看热闹是不好的，围观……不太好

efficient3d

tatabu]不同意!
其实这个游戏一开始选的时候机率已经是固定的。无论你如何选择3扇门的那一个，都应该是1/2机会。
假象是：
其实这个时候应该是只有两个选择：1：其中一扇你选中的门 2：另外两个没有被你选中的门，注意：我们应视这两个门为一个总体，因为无论如何选两个门的其中一个结果都是一样的。
重复的理据还有就是：按照机率转移的思路，由于主持人下个开门的动作将其中的1/3风险去掉，在还可以选择的情况下就剩下两个选择，也就是那个1/3的机会会平均分到剩下的两扇门上 —— 也就是一扇门有1/2机会

也就是： 是错的。

大多数人是这样想的没有错，但是你的说法确实是站不住脚的。之所以说是二分之一的机会是等到打开了剩下的一扇空门之后大多数人的想法－－因为他们说这个时候只剩下2扇门－－一个是有车的一个是没有车的，这个时候不管是坚持原来的选择还是换选择一扇门都只有二分之一的可能性，但是一刚刚开始有三扇门的时候你选择到空门的几率确实是三分之二而不是你所说的二分之一，这个二分之一是没有任何道理的。如果按照你的理论，如果一刚刚开始有10扇门，只有其中一扇门后面有车其余为空，难道选中车的几率还是二分之一吗？很显然是错误的。我上面已经解释得很清楚了，将这个命题扩展到4扇门或者10扇门，选中一扇然后打开剩下的2扇或者8扇空门，你说接下来你该怎么做？很显然的换选一扇门几率要高得多－－如果是10扇门的话换选一扇就有九成的几率拿到车，原因很简单，因为一刚刚开始你选择到空门的几率是90％。

tatabu

大多数人是这样想的没有错，但是你的说法确实是站不住脚的。之所以说是二分之一的机会是等到打开了剩下的一扇空门之后大多数人的想法－－因为他们说这个时候只剩下2扇门－－一个是有车的一个是没有车的，这个时候不管是坚持原来的选择还是换选择一扇门都只有二分之一的可能性，但是一刚刚开始有三扇门的时候你选择到空门的几率确实是三分之二而不是你所说的二分之一，这个二分之一是没有任何道理的。如果按照你的理论，如果一刚刚开始有10扇门，只有其中一扇门后面有车其余为空，难道选中车的几率还是二分之一吗？很显然是错误的。我上面已经解释得很清楚了，将这个命题扩展到4扇门或者10扇门，选中一扇然后打开剩下的2扇或者8扇空门，你说接下来你该怎么做？很显然的换选一扇门几率要高得多－－如果是10扇门的话换选一扇就有九成的几率拿到车，原因很简单，因为一刚刚开始你选择到空门的几率是90％。

如果只有一个条件，就是从3扇门中选择其中1扇的话，1/3选中、2/3选不中的概率是没有错的。但是游戏有一个条件就是主持人是会排除掉其中之1/3选不中的概率的。用一个简单的公式来比较一下：

开始时选择：   选中1/3 比 选不中2/3      也就是      选中：选不中=1:2
第二次选择时：  选中1/3  比 选不中（开始时选不中2/3-主持人排除掉其中1/3）=1/3   也就是  选中：选不中=1:1

如果像efficient3d vbmenu_register("postmenu_346384", true);  提出使用4扇门或10扇门的条件，只要确保条件是主持人会将其中没有汽车的2扇或8扇门在第二次选择之前排除掉，按照以上的思路是一样的。以10扇门为例：

开始时选择：   选中1/10 比 选不中9/10      也就是      选中：选不中=1:9
第二次选择时：  选中1/10  比 选不中（开始时选不中9/10-主持人排除掉其中8/10）=1/10   也就是  选中：选不中=1:1

只要保证条件是第二次选择时是从一扇后面有汽车和另一扇没有汽车两扇门中选择一个的话，无论开始时要从100扇门后选一个都不会影响最终的选中的概率：1/2

efficient3d

tatabu]如果只有一个条件，就是从3扇门中选择其中1扇的话，1/3选中、2/3选不中的概率是没有错的。但是游戏有一个条件就是主持人是会排除掉其中之1/3选不中的概率的。用一个简单的公式来比较一下：

开始时选择： 选中1/3 比 选不中2/3 也就是 选中：选不中=1:2
第二次选择时： 选中1/3 比 选不中（开始时选不中2/3-主持人排除掉其中1/3）=1/3 也就是 选中：选不中=1:1

如果像efficient3d vbmenu_register("postmenu_346384", true); 提出使用4扇门或10扇门的条件，只要确保条件是主持人会将其中没有汽车的2扇或8扇门在第二次选择之前排除掉，按照以上的思路是一样的。以10扇门为例：

开始时选择： 选中1/10 比 选不中9/10 也就是 选中：选不中=1:9
第二次选择时： 选中1/10 比 选不中（开始时选不中9/10-主持人排除掉其中8/10）=1/10 也就是 选中：选不中=1:1

只要保证条件是第二次选择时是从一扇后面有汽车和另一扇没有汽车两扇门中选择一个的话，无论开始时要从100扇门后选一个都不会影响最终的选中的概率：1/2

首先你的出发点就错了－－开了门再选择与先选择再开门是完全不同的两个情况。因为第二次的时候你已经没有任何选择的余地－－要么坚持原来的选择，要么换选一扇门。如果是开了门再选择，那么结果是你所说的那样－－哪怕是1000、10000扇门都好的，选中与选不中的几率确实都是50％；但是你是先选择再开门，这个才是关键－－因为你一旦作出选择，几率就已经定下来－－只有十分之一的几率选中（用10扇门的比较好说明问题），但是只要打开剩下的8扇空门，我想结果是很清楚的，你应该知道那扇没有开的门有至少9成的几率是车。其实要验证这个结论很简单，你找一位朋友用类似抽签的形式来看看就可以了。

这个题目的原型是来自美国的一份调查问卷（90年代某一期《读者文摘》上面提到过这个问题），发表在美国的一期期刊上，没有过多少天发布者就收到了大量的来信，其中有相当多的人是号称有博士头衔的学者，当然他们的想法也是这样－－说不管是坚持原来的选择还是换选一扇门，几率都是50％，说发布者给出的换选择一扇门几率更高的答案是错误的。

deadsea007

顺序不同，概率即会发生变化，

tatabu

首先你的出发点就错了－－开了门再选择与先选择再开门是完全不同的两个情况。因为第二次的时候你已经没有任何选择的余地－－要么坚持原来的选择，要么换选一扇门。如果是开了门再选择，那么结果是你所说的那样－－哪怕是1000、10000扇门都好的，选中与选不中的几率确实都是50％；但是你是先选择再开门，这个才是关键－－因为你一旦作出选择，几率就已经定下来－－只有十分之一的几率选中（用10扇门的比较好说明问题），但是只要打开剩下的8扇空门，我想结果是很清楚的，你应该知道那扇没有开的门有至少9成的几率是车。其实要验证这个结论很简单，你找一位朋友用类似抽签的形式来看看就可以了。

efficient3d兄好像自己的话都有点矛盾吧? 其实你讲到这里已经和我说的一样,第二次选择时已经不是多项选择了,已经完全变成了二选一了. 还有就是如果不是先选择才开门,而是开了再选,哪不就是百分百选中?

这里我借用一下别人提出的一种反对你观点的说法, 虽然不能证明结果是怎样, 但值得考虑:
　　
　　我们不妨改变一下游戏：

　　Monty向竞猜者展示了三扇门，有一扇门之后是一辆小轿车。另两扇门之后是空房间。蒙特事先知道门后是什么，但竞猜者并不知道。竞猜者有三个人，但是不准选择同一扇门。

　　游戏分为三步：

　　1. 每人选择一扇门。

　　2. 蒙特将会打开三扇门中的一扇，展示一个空的房间，淘汰一个人。（他从不会打开那扇后面藏有汽车的。）

　　3. 然后剩余两人可以坚持最初选择，也可以改变选择。



　　假设1号竞猜者选A门，2号竞猜者选B门，3号竞猜者选C门。蒙特打开B门，展示这是一扇空门，并淘汰2号竞猜者。假定改变选择是正确答案，机率由1/3变为2/3。于是1号竞猜者认为A门的机率为1/3，C门的机率为2/3；3号竞猜者认为C门的机率为1/3，A门的机率为2/3。产生矛盾，假定不成立。


如果可以的话,有人可以对这个假设提出反对吗?

efficient3d

其实这个假定本来就是矛盾的。因为只是对于某一个人来说几率会有三分之二，但是对于总体来说，就只能够有一个人能够得到车，所以只有三分之一。这个东西越说越不清楚，还是10扇门为例：你选择一扇门之后，我想你自己也知道几率只有十分之一，这个是没有问题的，接下来即便是有机会换选择另外一扇门，你也知道几率不会做出任何改变，因为你不知道剩下的9扇门后面是什么；但是之后一旦打开剩下的8扇空门，这个时候情况就不一样了，由于你之前做出的选择只有十分之一的可能性，这个从头到尾你都是清楚的，也就是说你拿到空门的几率是90％，不过这个时候有8扇空门已经被你知道了，而且你对于当初的第一次选择也知道有90％的可能性是空门，那么剩下的换选一扇门几率当然不止50％。
为什么很多人认为打开门之后不管是坚持原来的选择还是换选择一扇门几率都是50％，我想他们可能忽视了第一次选择的结果，把第二次的“换选”当成“重新再选择”，这两个概念是不一样的。现在我的建议是：如果你实在不相信这个结论，那么可以用实践的方法来证明，并且也不难。

efficient3d

tatabu]efficient3d兄好像自己的话都有点矛盾吧? 其实你讲到这里已经和我说的一样,第二次选择时已经不是多项选择了,已经完全变成了二选一了. 还有就是如果不是先选择才开门,而是开了再选,哪不就是百分百选中?

这里我借用一下别人提出的一种反对你观点的说法, 虽然不能证明结果是怎样, 但值得考虑:
　　
　　我们不妨改变一下游戏：

　　Monty向竞猜者展示了三扇门，有一扇门之后是一辆小轿车。另两扇门之后是空房间。蒙特事先知道门后是什么，但竞猜者并不知道。竞猜者有三个人，但是不准选择同一扇门。

　　游戏分为三步：

　　1. 每人选择一扇门。

　　2. 蒙特将会打开三扇门中的一扇，展示一个空的房间，淘汰一个人。（他从不会打开那扇后面藏有汽车的。）

　　3. 然后剩余两人可以坚持最初选择，也可以改变选择。



　　假设1号竞猜者选A门，2号竞猜者选B门，3号竞猜者选C门。蒙特打开B门，展示这是一扇空门，并淘汰2号竞猜者。假定改变选择是正确答案，机率由1/3变为2/3。于是1号竞猜者认为A门的机率为1/3，C门的机率为2/3；3号竞猜者认为C门的机率为1/3，A门的机率为2/3。产生矛盾，假定不成立。


如果可以的话,有人可以对这个假设提出反对吗?

其实这个时候才是假相－－已经是含有很大水分的二选一。因为你已经选择过一次，但是第一次的几率是不同的。我所说的先开门再选择是说先保留一扇空门，打开剩下的空门再让你做出选择。

kilua

应该换
这个题目等效于：
这里有三个门，其中一个有汽车，你先选一个，比如Ａ门，然后主持人问你：现在你有两条路：１，坚持自己的选择；２，改选为Ｂ＋Ｃ门，只要其中有一个有汽车，那汽车就归你了．
你会怎么选？？？当然是选２拉．．．
中奖几率为２／３

mcgullwong

其實你可以試想有100道門
你選了一個後
有98個空門被打開
哪一度門後有橋車的機會大
大家也想到吧

BATMAN

摘抄：

　(1)首先，在游戏初始状态，设轿车在门X的后面，P(X)= 1/3
　　(2)设竞猜者选择了A门，然后Monty准备打开B门
　　(3)如果轿车在A门后，则Monty打开B门的概率为:
　　P(Monty打开B门|A)= 1/2
　　如果轿车在B门后，则Monty打开B门的概率为:
　　P(Monty打开B门|B)= 0
　　如果轿车在C门后，则Monty打开B门的概率为:
　　P(Monty打开B门|C)= 1
　　则Monty打开B门的概率为：
　　P(Monty打开B门)=P(A)P(Monty打开B门|A)
　　　　+P(B)P(Monty打开B门|B)
　　　　+P(C)P(Monty打开B门|C)
　　　　=1/6 + 0 + 1/3
　　　　=1/2
　　(4)据Bayes定理，
　　P(A|Monty打开B门)=P(A) * P(Monty打开B门|A)
　　　　/ P(Monty打开B门)
　　　　=(1/3 * 1/2) / (1/2)
　　　　=1/3
　　P(C|Monty打开B门)=P(C) * P(Monty打开B门|C)
　　　　/ P(Monty打开B门)
　　　　=(1/3 * 1) / (1/2)
　　　　=2/3

tatabu

经过反复考虑，确实认为改门的机会是大一点，你们讲的都太复杂了，后来我换了个角度想的：
假设我三道门中我可以选择两道门，例如：假设我实际的选择的是B+C，但由于游戏的规则，实际中第一次我要选择A作为幌子，第二次在主持人的开了B、C中的其中一扇后，才按回“原意愿”选回B和C中剩下的一扇。
不要使用“换”，在一开始就想好才是增加机率的法宝吧。
这样解释会不会好理解一点？

aa

恭喜楼上想明白了